题目内容

如图（1），已知抛物线y=ax²+bx+c经过原点 O，它的顶点坐标为（5， $数学公式$ ），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、．D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若AB=6，求AD的长；
（3）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
（4）如图（2），若直线y=x交抛物线的对称轴于点N，P为直线y=X上一个动点，过点P作X轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线y=x上是否存在点P，使得以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5， $\text{[math]}$ ），且图象过（0，0）点，
代入顶点式得：
y=a（x-5）²+ $\text{[math]}$ ，
将（0，0）代入解析式得：
∴0=a（0-5）²+ $\text{[math]}$ ，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+ $\text{[math]}$ ；

（2）∵此函数顶点坐标为（5， $\text{[math]}$ ），且图象过（0，0）点，
∴图象与x轴另一交点为：（10，0），
当AB=6时，
∴AO=（10-6）÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
∴AD=4；

（3）假设AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l的最大值为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =20.5．

（4）当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．

∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5= $\text{[math]}$ ，
解得：m=5± $\text{[math]}$ ，
当∠P₃NQ₃=90°时，过点Q₃作Q₃K₁⊥对称轴，
当△NQ₃K₁为等腰直角三角形时，△NP₃Q₃为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -x，
Q₃K₁=5-x，

Q点在OM的下方时，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），
Q₄K₂=x-5，
∴ $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
（5- $\text{[math]}$ ，5- $\text{[math]}$ ）或（5+ $\text{[math]}$ ，5+ $\text{[math]}$ ）或（4，4）或（10，10）．
分析：（1）利用图象上顶点坐标以及原点，由顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出D点横坐标x=2，求出D点纵坐标即可得出AD的长；
（3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
（4）利用等腰直角三角形的性质得出QN=AB=AO，以及P在y=x的图象上，即可得出P点的坐标．
点评：此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y=x图象上点的性质是解决问题的关键．