Question

已知A、B、C是锐角三角形ABC的三个内角，满足关系式4sin²C+4cosC=5，且关于x的二次方程x2-2xsinC+

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sin2A=0有两个相等的实数根，求∠B的度数．

Answer 1

分析：根据锐角三角函数的关系得到sin²C+cos²C=1，则4（1-cos²C）+4cosC=5，解得cosC=

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2

，所以∠C=60°；再根据判别式的意义得到△=4sin²C-4×

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2

sin²A=0，解得sinA=

2

2

，
则锐角A=45°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠B．

解答：解：∵sin²C+cos²C=1
∴4（1-cos²C）+4cosC=5，
整理得（2cosC-1）²=0，
∴2cosC-1=0，即cosC=

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2

，
而∠C为锐角，
∴∠C=60°，
∴sinC=

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2

∵关于x的二次方程x2-2xsinC+

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2

sin2A=0有两个相等的实数根，
∴△=4sin²C-4×

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sin²A=0，
∴sinA=

2

2

，
∴锐角A=45°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=75°．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了锐角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值．