Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2，求证：A′E′是∠CE′D′的角平分线；
（3）试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据等角的余角相等求出∠CFE=∠AED，然后根据对顶角相等可得∠CEF=∠AED，从而得到∠CEF=∠CFE，再根据等角对等边证明即可；
（2）根据平移的性质可得∠A′E′D′=∠AED，A′E′∥AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠CFE=∠A′E′F，然后求出∠A′E′D′=∠A′E′F，根据角平分线的定义证明即可；
（3）根据平移的性质可得∠2=∠3，AE=A′E′，求出∠1=∠3，再根据等角的余角相等求出∠B=∠4，再利用“角角边”证明△ACE和△A′BE′全等，根据全等三角形对应边相等可得BE′=CE，从而得到BE′=CF．

解答：证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠1+∠CFE=90°，∠2+∠AED=90°，
∴∠CFE=∠AED，
∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）∵△ADE沿AB向右平移得到△A′D′E′，
∴∠A′E′D′=∠AED，A′E′∥AE，
∴∠CFE=∠A′E′F，
∵∠CFE=∠AED，
∴∠A′E′D′=∠A′E′F，
∴A′E′是∠CE′D′的角平分线；

（3）由平移的性质得，∠2=∠3，AE=A′E′，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠4+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠B=∠4，
在△ACE和△A′BE′中，

∠1=∠3 ∠B=∠4 AE=A′E′

，
∴△ACE≌△A′BE′（AAS），
∴BE′=CE，
∵CE=CF，
∴BE′=CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平移的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键，利用数字加弧线表示角更形象直观．