Question

12．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．现有P、Q两动点同时出发，独立运动．点P从点B出发，沿B→C→D方向匀速运动，速度为1cm/s，到点D停止；点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，到点B停止．连接AP、AQ、PQ，设运动时间为r（s）．解答下列问题：
（1）填空：AB=10cm，AB与CD之间的距离为9.6cm；
（2）在整个运动过程中，当PQ与菱形ABCD一边平行时，求t的值；
（3）当t≥10时，设△APQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AB的长，根据菱形的面积公式求出AB与CD之间的距离；
（2）从PQ∥CD和PQ∥AD两种情况进行分析，根据相似三角形的性质进行解答；
（3）用t表示出DQ、DP、PE的长，根据y=△ADQ的面积+△PDQ的面积-△ADP的面积列式即可．

解答 解：（1）由菱形的性质可知，AC⊥BD，OB=$\frac{1}{2}$BD=8，OA=$\frac{1}{2}$AC=6，
由勾股定理得，AB=10，
设AB与CD之间的距离为h，
则$\frac{1}{2}$×12×18=AB×h，
解得h=9.6．
（2）当PQ∥CD时，$\frac{BP}{PC}$=$\frac{BQ}{DQ}$，
即$\frac{t}{10-t}$=$\frac{16-t}{t}$，
解得，t=$\frac{80}{13}$；
当PQ∥AD时，$\frac{DP}{CP}$=$\frac{DQ}{BQ}$，
即$\frac{20-t}{t-10}$=$\frac{t}{16-t}$，
解得，t=$\frac{160}{13}$；
（3）作PE⊥BD于点E，
则DQ=t，DP=20-t，PE=$\frac{3}{5}$（20-t），
当10≤t≤16时，
y═△ADQ的面积+△PDQ的面积-△ADP的面积
=$\frac{1}{2}$•DQ•AO+$\frac{1}{2}$•DQ•PE-$\frac{1}{2}$DP×9.6
=$\frac{1}{2}$×t×6+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$（20-t）×t-$\frac{1}{2}$（20-t）×9.6
=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{69}{5}$t-96，
当16＜t≤20时，y=$\frac{1}{2}$×10×9.6=48．

点评 本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直和菱形的面积的两种求法是解题的关键，注意全等三角形的性质和相似三角形的性质的运用．