Question

18．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；
（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用两点之间距离公式求出PA=2$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，进而得出△PAC为直角三角形，求出面积即可；
（3）首先求出点D的坐标为（-2，3），PC=DP，进而得出四边形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
故P（-1，4）；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴PA=2$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，
∵PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•PC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=3；

（3）四边形PCED是正方形，
理由：∵点C与点D关于抛物线的对称轴对称，点P为抛物线的顶点，
∴点D的坐标为（-2，3），PC=DP，
∵A（-3，0），C（0，3），代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的函数关系式是：y=x+3，
同理可得出：直线DP的函数关系式是：y=x+5，
∴AC∥DP，
同理可得：PC∥BD，
∴四边形PCED是菱形，
又∵∠PCA=90°，
∴四边形PCED是正方形．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形与正方形的判定方法等知识，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．