Question

关于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0（a≠0）的解集为

 

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Answer 1

考点：一元二次不等式

专题：

分析：先将关于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0（a≠0）化为（ax-1）（x-a）＞0，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式．

解答：解：关于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0（a≠0）化为（ax-1）（x-a）＞0，
当（ax-1）（x-a）=0，x₁=

1

a

，x₂=a，
①当a＜-1时，原不等式可化为（x-

1

a

）（x-a）＜0，∵

1

a

＞a，∴解集为a＜x＜

1

a

；
②当a=-1时，原不等式可化为-（x-1）²＞0，解集为空集；
③当-1＜a＜0时，原不等式可化为（x-

1

a

）（x-a）＜0，∵a＞

1

a

，∴解集为

1

a

＜x＜a；
④当0＜a＜1时，原不等式可化为（x-

1

a

）（x-a）＞0，∵

1

a

＞a，∴解集为x＜a或x＞

1

a

；
⑤当a=1时，原不等式可化为（x-1）²＞0，解集为x≠1；
⑥当a＞1时，原不等式可化为（x-

1

a

）（x-a）＞0，∵a＞

1

a

，∴解集为x＜

1

a

或x＞a．
综上所述，关于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0（a≠0）的解集为

a＜-1时，a＜x＜ 1 a a=-1时，x为空集 -1＜a＜0时， 1 a ＜x＜a 0＜a＜1时，x＜a或x＞ 1 a a=1时，x≠1 a＞1时，x＜ 1 a 或x＞a

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故答案为：

a＜-1时，a＜x＜ 1 a a=-1时，x为空集 -1＜a＜0时， 1 a ＜x＜a 0＜a＜1时，x＜a或x＞ 1 a a=1时，x≠1 a＞1时，x＜ 1 a 或x＞a

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点评：考查了一元二次不等式，对a正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．