题目内容

如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是________．

（ $\text{[math]}$ ）ⁿR
分析：由题意可得第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，则可求得第二个圆的半径，同理求得第三个圆的半径，继而可得规律：第n个圆的半径是（ $\text{[math]}$ ）^n-1R，又由第n个内切圆恰好是第n+1个圆，求得答案．
解答：

解：如图，连接OA，OB，OC，
∵第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC= $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ R，
即第二个圆的半径是 $\text{[math]}$ R，
同理，第三个圆的半径是（ $\text{[math]}$ ）²R，
∴依此类推得到第n个圆，它的半径是（ $\text{[math]}$ ）^n-1R．
∵第n个内切圆恰好是第n+1个圆，
∴第n个内切圆，它的半径是（ $\text{[math]}$ ）ⁿR．
故答案为：（ $\text{[math]}$ ）ⁿR．
点评：此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度适中，属于规律性题目，注意得到规律：第n个圆的半径是（ $\text{[math]}$ ）^n-1R是关键．