Question

【题目】如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：

（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。

（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。

Answer 1

【答案】(1) t= ；(2)见解析；(3) P（1.1）, P（1，1－）

【解析】分析：

（1）由已知条件易得OA=OB=1，AB=，由△AOC和△BCP全等可得BC=OA=1，从而可得t=AC=AB-BC=；

（2）过点C作x轴的平行线交OA于点M，交PB于点N，由题意易得OM=BN=CN，∠OMC=∠CNP=90°，∠COM=∠PCN，由此可得△OMC≌△CNP，从而可得OC=PC；

（3）①由△OMC≌△CNP，可得PN=MC=AM，结合AM=sin45°AC=，由此可得BN=OM=1-AM=，从而可得PB=b=BN-PN=，即b=，由点C在第一象限可得t的取值范围是：；②根据点C只能在第一象限，结合题意分PC=PB和PB=BC两种情况讨论计算即可.

详解：

（1）∵OA=OB=1，∠AOB=90°，

∴AB=，

∵△AOC和△BCP全等，

∴BC=OA=1，

∴AC=AB-BC=，即；

（2）过点C作x轴的平行线交OA于点M，交PB于点N，

∴∠CMO=∠OCP=∠CNB=90°，

∴四边形OBNM是矩形，∠MOC+∠MCO=90°，∠MCO+∠NCP=90°，

∴BN=OM，∠MOC=∠NCP，

∵OA=OB=1,

∴∠BAO=∠ABO=∠ABN=45°，

∴△BCN是等腰直角三角形，

∴OM=BN=CN，

∴△MOC≌△NCP，

∴OC=PC；

（3）① ∵OA=OB=1,∠AOB=90°，

∴∠BAO=∠ABO=45°，

又∵∠AMC=90°，

∴AM=MC=AC·sin45°=，

∴OM=OA-AM=，

∵由（2）可知：BN=OM，

∴NB=,

∵△AOC和△BCP全等，

∴PN=CM=AM=，

∴PB=BN-PN=，即b=，

∵点C在第一象限，

∴；

②当t=0时，△PBC是等腰直角三角形，当此时点C与点A重合，不在第一象限，不符合题中要求，故此种情况不成立；

当PB=BC时，由（2）可知，解得t=1或t=-1（舍去），

∴当t=1时，△PBC是等腰三角形，此时点P的坐标为；

综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为.