Question

已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，过D作⊙O的切线交AC于E，DE=4，CE=2．

 
（1）如图1，求证：①DE⊥AC；②求⊙O的半径；
（2）如图2，若I是△ABD的内心，DI的延长线交⊙O于N，求IN的长度．

Answer 1

（1）①证明：如图1，连接AD．
∵点D为的中点，
∴∠1=∠2．
∵∠2=∠3，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CAB=∠3，
∴AE∥OD．
又∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
②解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
由①知，DE⊥AC，
∴∠E=90°．
∵DE=4，CE=2，
∴根据勾股定理求得CD==2．
∵点D为的中点，
∴BD=CD=2．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDC=∠1．
∴利用①中的∠1=∠2得到∠EDC=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴sin∠EDC=sin∠2，即=，
∴=，则AB=10，
故⊙O的半径为5；

（2）解：如图2，连接AN、BN，AI．
∵I是△ABD的内心，
∴∠1=∠4，∠5=∠6．
∴=，
∴AN=BN，∠1=∠2．
∴∠2=∠4．
∵AB是直径，且AB=10，
∴∠ANB=90°，
∴AN=BN=5．
∵∠3=∠4+∠5=∠2+∠6，即∠AIN=∠IAN，
∴IN=AN=5．
分析：（1）①如图1，连接AD．由点D为的中点，根据圆周角定理得到∠1=∠2，而∠2=∠3，则∠CAB=∠1+∠2=∠3，于是有AE∥OD，有DE⊥OD，即可得到结论；
②如图1，连接CD、BD．由旋切角定理得到∠EDC=∠1．利用①中的∠1=∠2得到∠EDC=∠2；则由正弦三角函数的定义求得AB的长度；
（2）如图2，连接AN、BN，AI．由三角形内心的性质得到∠1=∠4，∠5=∠6．由圆周角、弧、弦间的关系易求AN=BN=5，然后由圆周角定理、三角形外角定理证得
AN=IN=5．
点评：本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形、圆心角、弧、弦的关系等知识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答（2）题的关键．