Question

如图，△内接于⊙，点在的延长线上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求证:是⊙的切线；⑵若,求的长。

Answer 1

（1）是⊙的切线
（1）证明：如图，连接OA
∵sinB=  ∴∠B=30°∴∠AOC=60°.
又OA=OC   ∴△AOC为等边三角形，∴∠OAC=60°.
又∠CAD=30°, ∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=60°+30°=90°
∴OA⊥AD , ∴AD是⊙O的切线。…………………4分
（2）∵OD⊥AB,  ∴=  ∴AC=BC=5
由（1）知：OA="AC," ∴OA=5………………………6分
在RT△OAD中, tan∠AOD= ,
∴AD="OA" ·tan∠AOD="5" ·tan60°=5……………8分解析:
（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；
（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．