题目内容
7．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，M是线段AB的中点，点P从M点出发沿线段MA-AC向终点C运动，速度为每秒个单位长度，设点P运动的时间为t（秒）．（1）请直接写出点B和点C的坐标：B（0，，6），C（8，0）；
（2）用含有t的代数式表示线段AP的长度，并直接写出t的取值范围．
（3）作线段OP、PM，当三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的$\frac{1}{2}$时，求t的值，并求出此时点P的坐标．
分析 （1）由矩形的性质以及点A的坐标即可求出点B，C的坐标；
（2）分为两种情况：当P在AM上时，当P在AC上时，求出AP，再根据点P的位置写出t的取值范围即可；
（3）分为两种情况：当P在AM上时，当P在AC上时，分别求出△MOP和四边形AMOC的面积，即可得出关于t的方程，求出t，即可得出答案．
解答 解：
（1）∵过点A（8，6）分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OB⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OB=6，OC=8，
∴点B坐标（0，6），点C的坐标（8，0）；
（2）∵四边形OBAC是矩形，A（8，6），M为AB的中点，
∴OB=AC=6，AB=OC=8，AM=BM=4，
当P在MA上时，AP=4-2t（0≤t≤2）；
当P在AC上时，AP=2t-4（2＜t≤3）；
（3）
当P在AM上时，如图1，
∵当三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•2t•6=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+8）×6，
解得：t=3，当t=3时，MP=6＞AM，此时不符合P在AM上，舍去；
当P在AC上时，如图2，
∵S△OMP=S四边形AMOC-S△AMP-S△OPC=$\frac{1}{2}$×（4+8）×6-$\frac{1}{2}$×4×（2t-4）-$\frac{1}{2}$×（4+6-2t）×8=4+4t，
S四边形AMOC=$\frac{1}{2}$（4+8）×6=36，
∴4+4t=$\frac{1}{2}$×36，
解得：t=3.5，
∴AP=2t-4=3，CP=6-3=3，
∴P点的坐标为（8，3）．
点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有坐标与图形性质，矩形的判断性质，三角形的面积等知识点的应用，能进行分类讨论是解此题的关键．
同步练习强化拓展系列答案
如图，在∠AOB所在的区域内有一个铜矿（用点P表示），点C，D分别表示在边OA，OB上的两个村庄，恰好有CP∥OB，DP∥OA，请在图中利用直尺和圆规确定点P（铜矿）的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
如图，AB∥CD，E是BC延长线上一点，若∠B=50°，∠D=20°，则∠E的度数为（ ）| A． | 20° | B． | 30° | C． | 40° | D． | 50° |
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则$\widehat{AB}$的长度为（ ）| A． | π | B． | 2π | C． | 5π | D． | 10π |
| A． | 1 | B． | 2 | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |