Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．

（1）求证：AC2＝ADAB；

（2）求证：AC2+BC2＝AB2（即证明勾股定理）；

（3）如果AC＝4，BC＝9，求AD：DB的值；

（4）如果AD＝4，DB＝9，求AC：BC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）.

【解析】

（1）欲证明AC2=ADAB，只要证明△ACD∽△ABC；

（2）同理可证BC2=BDAB，由AC2=ADAB．推出AC2+BC2=ADAB+BDAB=AB2；

（3）由BC2=BDAB，AC2=ADAB，推出=，即=，由此即可计算；

（4）用类似（3）的方法计算即可．

（1）∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC2＝ADAB；

（2）同理可证BC2＝BDAB，

∵AC2＝ADAB．

∴AC2+BC2＝ADAB+BDAB＝AB2，

∴AC2+BC2＝AB2；

（3）∵BC2＝BDAB，AC2＝ADAB，

∴＝，

∴=；

（4）∵BC2＝BDAB，AC2＝ADAB，

∴＝，

∴＝＝，

∴＝．