Question

在平面直角坐标系中，B（1，0）、A（3，-3）、C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质

专题：计算题

分析：利用点A、B、C的坐标特征得到∠ACB=90°，CB=2，CA=3，设P点坐标为（0，t），由于∠POB=∠ACB，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当

OP

BC

=

OB

CA

时，△OPB∽△CBA，即

|t|

2

=

1

3

或当

OP

CA

=

OB

CB

时，△OPB∽△CAB，即

|t|

3

=

1

2

，然后分别求出t的值，从而得到P点坐标．

解答：解：∵B（1，0）、A（3，-3）、C（3，0），
∴∠ACB=90°，CB=2，CA=3，
设P点坐标为（0，t），
∵∠POB=∠ACB=90°，
∴当

OP

BC

=

OB

CA

时，△OPB∽△CBA，即

|t|

2

=

1

3

，解得t=±

2

3

，此时P点坐标为（0，

2

3

）或（0，-

2

3

）；
当

OP

CA

=

OB

CB

时，△OPB∽△CAB，即

|t|

3

=

1

2

，解得t=±

3

2

，此时P点坐标为（0，

3

2

）或（0，-

3

2

），
综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，

2

3

）或（0，-

2

3

）或（0，

3

2

）或（0，-

3

2

）．
故答案为（0，

2

3

）或（0，-

2

3

）或（0，

3

2

）或（0，-

3

2

）．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．