Question

已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F．
（1）求证：AD²=

1

2

DE•DB；
（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE＜DE）的长是方程x²-3mx+2m²=0（m＞0）的两个根，且菱形ABCD的面积为6

3

，求EG的长．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，根据菱形的性质可得到△AOD∽△EAD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结果；
（2）先解二次方程，求出BE，DE的值，直接利用（1）的结果，可求出AD的值，再利用勾股定理及三角函数求得AE，EF，BF的值，根据比例线段求得EG的长，再根据菱形的面积可求出m的值，那么EG就求出来了．

解答：解法一：（1）证明：连接AC交BD于点O（1分）
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，BO=OD（2分）
∵AE⊥AD
∴△AOD∽△EAD
∴

AD

OD

=

ED

AD

（3分）
∴AD²=OD×ED
∴AD²=

1

2

DE×BD（4分）

（2）解：解方程x²-3mx+2m²=0得x₁=m，x₂=2m
∵BE＜DE
∴BE=m，DE=2m（5分）
∵AD²=

1

2

DE×BD
∴AD=

3

m（6分）
在Rt△ADE中，DE=2m，AD=

3

m
∴AE=m，∠ADB=30°
在Rt△BEF中，∠EBF=30°，BE=m
∴EF=

1

2

m，∴AF=

3

2

m（7分）
∵S_ABCD=AD×AF=

3

m×

3

2

m=6

3

∴m²=4
∴m=±2（负值舍去）
∴m=2（8分）
∵EG⊥AF，AD⊥AF
∴GE∥AD
∴

GE

AD

=

BE

BD

∴GE=

2 3

3

（9分）

解法二：（1）证：取DE的中点G，连接AG．（1分）
在Rt△EAD中，AG=DG=EG
∴∠GAD=∠GDA（2分）
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴∠GAD=∠ABD，∠ADB=∠ADB
∴△ADG∽△BDA（3分）
∴

AD

BD

=

DG

AD

∴AD2=DG×BD=

1

2

DE×BD（4分）

（2）解：∵x²-3mx+2m²=0
∴x₁=m，x₂=2m
∵BE＜DE
∴BE=m，DE=2m（5分）
∵AD2=

1

2

DE×BD
∴AD=

3

m（6分）
Rt△AOD中，AD=

3

m，OD=

3

2

m，
∴AO=

3

2

m，
∴AC=

3

m（7分）
∵S_ABCD=

1

2

AC×BD=

1

2

×

3

m×3m=6

3

∴m²=4，∴m=±2（负值舍去）
∴m=2（8分）
∵EG⊥AE，AD⊥AF
∴GE∥AD
∴

GE

AD

=

BE

BD

∴GE=

2 3

3

（9分）

点评：本题考查菱形的性质、勾股定理，解一元二次方程的理解及运用．