Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）证明：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；

（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中点，求EGED的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）110°；（3）18.

【解析】

试题分析：（1）连接AD，可证AD⊥BC，根据线段垂直平分线的判定可得AB=AC，进而可证∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，根据三角形外角性质∠BDF=∠C+∠CFD，可求出∠BDF的度数；（3）根据cosB=，求出AB的长，再求出AE的长，再利用△AEG∽△DEA，可求出EGED得值．

试题解析：（1）证明：连接AD，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB==，BD=4，∴AB=6，∵E是弧AB的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是弧AB的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EGED=AE2=（3）2=18．