Question

如图，⊙O与⊙O₁内切于点A，⊙O的弦BC与⊙O₁相切于点D，且BC∥O₁O，BC=4，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：作OH⊥BC于H，连结O₁D，OC，根据垂径定理得BH=CH=

1

2

BC=2，再根据切线的性质由BC与⊙O₁相切于点D得O₁D⊥BC，由于BC∥O₁O，则O₁D⊥OO₁，易得四边形OHDO₁为矩形，所以OH=O₁D，在Rt△OCH中，根据勾股定理得OC²-OH²=CH²=4，即有OC²-O₁D²=4，然后根据圆的面积公式得到S_阴影部分=S_大圆-S_小圆=π（OC²-O₁D²）=4π．

解答：解：作OH⊥BC于H，连结O₁D，OC，如图，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∵⊙O的弦BC与⊙O₁相切于点D，
∴O₁D⊥BC，
∵BC∥O₁O，
∴O₁D⊥OO₁，
而OH⊥BC，
∴四边形OHDO₁为矩形，
∴OH=O₁D，
在Rt△OCH中，OC²-OH²=CH²=4，
∴OC²-O₁D²=4，
∵S_阴影部分=S_大圆-S_小圆
=π•OC2-π•O₁D²
=π（OC²-O₁D²）
=4π．
故答案为4π．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和垂径定理．