Question

2．如图，已知正比例函数y=$\frac{4}{3}$x和反比例函数的图象交于点A（m，-4）和点D
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上C（4，n）沿OA方向平移5个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）把已知的交点的坐标代入正比例函数解析式，即可求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象和A、B的横坐标即可得出答案．
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=5，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．

解答 解：（1）∵点A（m，-4）是正比例函数y=$\frac{4}{3}$x的点，
则有-4=$\frac{4}{3}$m，
∴m=-3．
∴A（-3，-4），
∵反比例函数的图象交于点A，
∴-4=$\frac{k}{-3}$，
∴k=12．
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$；
（2）∵交点D和点A（-3，-4）关于原点对称，
∴D（3，4），
由图象可知：使正比例函数的值大于反比例函数的值的自变量x的取值范围是：-3＜x＜0或x＞3．
（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（-3，-4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由题意知：CB∥OA且CB=5，
∴CB=OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（4，n）在y=$\frac{12}{x}$上，
∴n=3，
∴C（4，3），
OC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴OC=OA，
∴四边形OABC是菱形．

点评 本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题．