Question

【题目】如图，在ABCD中，过A、C、D三点的⊙O交AB于点E，连接DE、CE，∠CDE=∠BCE．

（1）求证：AD=CE；

（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若BC=4，DE=10，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）直线BC与⊙O相切；（3）；

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出∠AED=∠EDC，证出=,

即可得出AD=CE；
（2）作直径CF，连接EF，则∠EFC=∠EDC，证出∠EFC=∠BCE，再由CF是 O的直径，得出∠FEC=90°，得出∠BCF=90°，即可得出结论；
（3）证明△BCE∽△EDC，得出对应边成比例，即可得出结果．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠AED=∠EDC．

∴=，

∴AD=CE；

（2）解：直线BC与⊙O相切，理由如下：

如图所示：作直径CF，连接EF．

则∠EFC=∠EDC，

∵∠BCE=∠CDE，

∴∠EFC=∠BCE，

∵CF是⊙O的直径，

∴∠FEC=90°，

∴∠EFC+∠FCE=90°，

∴∠BCE+∠FCE=90°

∴∠BCF=90°，

∴OC⊥CB．

∴直线BC与⊙O相切；

（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB∥CD，

由（1）得：AD=CE，

∴BC=CE，

∵AB∥CD，

∴∠BEC=∠DCE．

又∵∠BCE=∠CDE，

∴△BCE∽△EDC，

∴=，

∵BC=4∴CE=4，

即 =，

解得，BE=．