Question

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）若抛物线过A.B两点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？ 若存在求出P的坐标，不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值.

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+；（2）P（1±，）；（3）最大值为．

解析试题分析：（1）连接OB，根据勾股定理即可求得点B的坐标，再结合A（3，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P，由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；
（3）作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．
（1）如图，连接OB．

∵BC=2，OC=1
∴OB==
∴B（0，）
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式
得，解得，
∴y=﹣x²+x+；
（2）如图，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P，

∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，
得﹣x²+x+=；
解得x=1±，
∴P（1±，）；
（3）如图，作MH⊥x轴于点H．

设M（x_m，y_m），
则S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA﹣S_△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB
=（y_m+）x_m+（3﹣x_m）y_m﹣×3×
=x_m+y_m﹣                     
∵y_m=﹣x_m²+x_m+，
∴S_△MAB=x_m+（﹣x_m²+x_m+）﹣
=x_m²+x_m
=（x_m﹣）²+   
∴当x_m=时，S_△MAB取得最大值，最大值为．
考点：本题考查的是二次函数的性质、圆的性质、垂直平分线，勾股定理
点评：解答本题的关键是注意第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法．