Question

如图，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O₁与⊙O₂互相外切，且⊙O₁与边AB，AD相切，⊙O₂与边BC，CD相切，若正方形的边长为1，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r₁，r₂．
（1）求r₁和r₂的关系式；
（2）求⊙O₁与⊙O₂的面积之和的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的性质得AC，AO₁，CO₂，O₁O₂，从而得出r₁和r₂的关系式；
（2）可得出）⊙O₁与⊙O₂的面积之和，用配方法直接得出=2（r₁-）²+3-2，从而得出面积的最小值．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，AC=．
AO₁=r₁，CO₂=r₂，O₁O₂=r₁+r₂．（3分）
∵AC=AO₁+CO₂+O₁O₂，
∴r₁+r₂+r₁+r₂=．
∴r₁+r₂==．（6分）

（2）⊙O₁与⊙O₂的面积之和为：S=π（r₁²+r₂²）．
∴=r₁²+（2--r₁²）=2r₁²-2（2-）r₁+6-4．（8分）
配方得，=2（r₁-）²+3-2（10分）
∴当r₁=时，⊙O₁与⊙O₂是等圆，
其面积最小值为S=π（r₁²+r₂²）=（）π．（11分）
点评：本题是一道综合题，考查了相切两圆的性质和正方形的性质，是中档题，难度偏大．