Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AE=2．经过点E作△ABE外接圆的切线交BC于点D，过点C作CF⊥BC交BE的延长线于点F，连接FD交AC于点H，FD平分∠BFC．
（1）求证：DE=DC；
（2）求证：HE=HC=1；
（3）求BD的长度．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴BE是△ABE外接圆的直径；
又∵DE是△ABE外接圆的切线（已知），
∴DE⊥BF；
又∵CF⊥BC（已知），FD平分∠BFC，
∴DE=DC（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）；

（2）证明：∵E是AC的中点，AE=2，
∴CE=AE=2；
在Rt△DEF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），
∴∠EDH=∠CDH，
∴DH是CE边上的中线，DH⊥CE，
∴HE=HC=1；

（3）解：∵∠ABE+∠AEB=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠AEB=∠FEH（对顶角相等），∠FEH+∠DEH=90°，
∴∠ABE=∠DEH=∠DCH，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴AB：AC=AE：AB，
∵AE=2，AC=2AE=4，
∴AB=2，
∴tan∠ABE==；
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理知，BC=2；
∵tan∠ABE=tan∠DCH==，
∴DH=，
∴CD=，
∴BD=BC-CD=．
分析：（1）根据切线的定义证得DE⊥BF；然后由角平分线的性质（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）证得DE=DC；
（2）根据全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△DEF≌Rt△DCF；然后由全等三角形的对应角相等、等腰三角形的“三合一”的性质推知CH=CE=1；
（3）由相似三角形△ABC∽△AEB的对应边成比例求得AB=2；然后在Rt△ABE中利用正切三角函数的定义推知tan∠ABE==；最后由勾股定理、等角的三角函数值相等即可求得BC、CD的长度，从而求得BD=BC-CD．
点评：本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用．