Question

2．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

Answer 1

分析 （1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，由矩形的性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得出△ABD∽△NBO，得出比例式$\frac{AB}{BN}=\frac{AD}{NO}=\frac{BD}{BO}=\frac{2}{3}$，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出点D、P的坐标；
（2）当点P在边AB上时，BP=6-t，由三角形的面积公式得出S=$\frac{1}{2}$BP•AD；②当点P在边BC上时，BP=t-6，同理得出S=$\frac{1}{2}$BP•AB；即可得出结果；
（3）设点D（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（-$\frac{4}{5}$t-8，$\frac{8}{5}$t），由$\frac{PE}{OE}=\frac{CD}{CB}$和$\frac{PE}{OE}=\frac{CB}{CD}$时；分别求出t的值；
②当点P在边BC上时，P（-14+$\frac{1}{5}$t，$\frac{3}{5}$t+6）；由$\frac{PE}{OE}=\frac{CD}{BC}$和$\frac{PE}{OE}=\frac{BC}{CD}$时，分别求出t的值即可．

解答 解：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：
则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
当t=5时，OD=5，
∴BO=15，
∵AD∥NO，
∴△ABD∽△NBO，
∴$\frac{AB}{BN}=\frac{AD}{NO}=\frac{BD}{BO}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{6}{BN}=\frac{8}{NO}=\frac{2}{3}$，
∴BN=9，NO=12，
∴OM=12-8=4，DM=9-6=3，PN=9-1=8，
∴D（-4，3），P（-12，8）；

（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6-t，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•AD=$\frac{1}{2}$（6-t）×8=-4t+24；
②当点P在边BC上时，BP=t-6，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•AB=$\frac{1}{2}$（t-6）×6=3t-18；
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-4t+24（0≤t≤6）}\\{3t-18（6＜t≤14）}\end{array}\right.$；

（3）设点D（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
①当点P在边AB上时，P（-$\frac{4}{5}$t-8，$\frac{8}{5}$t），
若$\frac{PE}{OE}=\frac{CD}{CB}$时，$\frac{\frac{8}{5}t}{\frac{4}{5}t+8}=\frac{6}{8}$，
解得：t=6；
若$\frac{PE}{OE}=\frac{CB}{CD}$时，$\frac{\frac{8}{5}t}{\frac{4}{5}t+8}=\frac{8}{6}$，
解得：t=20（不合题意，舍去）；
②当点P在边BC上时，P（-14+$\frac{1}{5}$t，$\frac{3}{5}$t+6），
若$\frac{PE}{OE}=\frac{CD}{BC}$时，$\frac{\frac{3}{5}t+6}{14-\frac{1}{5}t}=\frac{6}{8}$，
解得：t=6；
若$\frac{PE}{OE}=\frac{BC}{CD}$时，$\frac{\frac{3}{5}t+6}{14-\frac{1}{5}t}=\frac{8}{6}$，
解得：t=$\frac{190}{13}$（不合题意，舍去）；
综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，由三角形相似得出比例式才能得出结果．