Question

如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、M的坐标分别是（-1，0），（1，0）
（1）求C点坐标．
（2）如图，P是BC上的一个动点，Q为PC中点，直线BP、DQ交于点K，当点P在BC上运动时（不包括B、C两点）BK的长度是否发生变化？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值．

Answer 1

分析：（1）连接CM，求出OM，CM，根据勾股定理求出OC即可；
（2）不发生变化，连接BD，BC，BQ，CQ，求出∠CQB=∠KQB，∠CBQ=∠KBQ，证△CQB≌△KQB，推出BK=BC，求出BC长即可．

解答：（1）解：连接OC，
∵A（-1，0），M（1，0），
∴OM=1，OA=2=OC，
∵∠MOC=90°，由勾股定理得：OC=

MC2-OM2

=

22-12

=

3

，
∴C的坐标是（0，

3

）；

（2）解：当点P在BC上运动时（不包括B、C两点）BK的长度不发生变化，总是2

3

，
理由是：连接BD，BC，BQ，CQ，
∵Q为弧PC中点，
∴弧CQ=弧PQ，
∴∠CBQ=∠KBQ，
∵CD⊥AM，AM过圆心M，
∴弧AC=弧AD，弧BC=弧BD，
∴弧BD+弧CD=弧BC+弧CD，
∴∠CQB=∠QBD+∠QDB，
∵∠KQB=∠QDB+∠QBD，
∴∠CQB=∠KQB，
在△CQB和△KQB中，

∠CQB=∠KQB BQ=BQ ∠CBQ=∠KBQ

∴△CQB≌△KQB（ASA），
∴BK=BC，
∵∠COB=90°，OC=

3

，BO=1+2=3，∴由勾股定理得：BC=

( 3 )2+32

=2

3

，
即不管P如何移动，BK的值不变，都等于2

3

．

点评：本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，难点是如何作辅助线．