Question

【题目】如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC．

（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1）．则PE_____PF（填“＞”、“＜”、“=”）

（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3 .
①图中全等三角形有___________对（不添加辅助线）

②猜想GE2、FH2、EF2之间的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）3；（3）GE2+FH2=EF2.

【解析】

（1）根据角平分线的性质定理证明；

（2）证明△MPE≌△NPF，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案； ②根据勾股定理，全等三角形的性质解答.

解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE=PF，

故答案为：=；

（2）PE=PF，

理由如下：∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，

∴∠MPE=∠NPF，

由（1）得，PM=PN，

在△MPE和△NPF中，

∠MPE＝∠NPF, PM＝PN, ∠PME＝∠PNF ，

∴△MPE≌△NPF（ASA），

∴PE=PF；

（3）①∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC=45°，

∵GH⊥OC，

∴∠OGH=∠OHG=45°，

∴OP=PG=PH，

∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，

∴∠GPE=∠OPF，

在△GPE和△OPF中，

∠PGE＝∠POF, PG＝PO, ∠GPE＝∠OPF,

∴△GPE≌△OPF（ASA），

同理，△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，

故答案为：3；

②GE2+FH2=EF2，

理由如下：

∵△GPE≌△OPF，

∴GE=OF，

∵△EPO≌△FPH，

∴FH=OE，

在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，

∴GE2+FH2=EF2.