Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．

（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6，顶点坐标为（2，8）；（2）点P'（3+3，﹣﹣3），P'（3﹣3，﹣+3），S＝；（3）存在，点Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．

【解析】

(1)将交点坐标代入解析式可求解；

(2)设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，设区PC解析式与抛物线解析式组成方程组，由△＝0，可求PC解析式，可求点P坐标，由等底等高的三角形面积相等，可得另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，可求P'E的解析式，即可求解；

(3)分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．

解：(1)∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．

∴

∴

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+6，

∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，

∴顶点坐标为（2，8）

(2)∵点A（0，6），点B（6，0），

∴直线AB解析式y＝﹣x+6，

当x＝2时，y＝4，

∴点D（2，4）

如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，

设直线PC解析式为y＝﹣x+b，

∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，

∴△＝9﹣4××（b﹣6）＝0

∴b＝，

∴直线PC解析式为y＝﹣x+，

∴当x＝2，y＝，

∴点C坐标（2，），

∴CD＝，

∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，

∴x＝3，

∴点P（3，）

∵在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，

∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，

∴DE＝CD＝，

∴点E（2，﹣），

设P'E的解析式为y＝﹣x+m，

∴﹣＝﹣2+m，

∴m＝

∴P'E的解析式为y＝﹣x+，

∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，

∴x＝3±3，

∴点P'（3+3，﹣﹣3），P'（3﹣3，﹣+3），

∴S＝×6×（﹣3）＝．

(3)设点Q（x，y）

若PB是对角线，

∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形

∴BP与FQ互相平分，

∴

∴x＝7

∴点Q（7，﹣）；

若PB为边，

∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形，

∴BF∥PQ，BF＝PQ，或BQ∥FP，BQ＝PF，

∴xB﹣xF＝xP﹣xQ，或xB﹣xQ＝xP﹣xF，

∴xQ＝3﹣（6﹣2）＝﹣1，或xQ＝6﹣（3﹣2）＝5，

∴点Q（﹣1，）或（5，）；

综上所述，点Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．