Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝60°，AD是⊙O的直径，Q是AD延长线上的一点，且BQ＝AB．

（1）求证：BQ是⊙O的切线；

（2）若AQ＝6．

①求⊙O的半径；

②P是劣弧AB上的一个动点，过点P作EF∥AB，EF分别交CA、CB的延长线于E、F两点，连接OP，当OP和AB之间是什么位置关系时，线段EF取得最大值？判断并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①⊙O的半径为2；②当OP垂直平分AB时，线段EF取得最大值，理由详见解析．

【解析】

（1）根据同弧所对的圆周等于圆心角的一半，结合等腰三角形的性质，可求∠OBQ＝90°；

（2）①设出半径，表示出OQ，运用三角函数建立方程即可求解；

②过点C作CH⊥EF，垂足为H，交AB于点K，推理出“EF随着HK的增大而增大，当HK取最大值时，EF取最大值”即可求解．

解：如图1，

（1）连接OB，

∵∠C＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∵BQ＝AB，

∴∠Q＝∠OAB＝30°，

∴∠ABQ＝120°，

∴∠OBQ＝90°，

∴BQ是⊙O的切线；

（2）①设圆的半径为r，则OQ＝6﹣r，

由（1）知，∠Q＝30°，∠OBQ＝90°，

∴＝sin30°＝,

∴，

解得：r＝2；

②如图2，

当OP垂直平分AB时，线段EF取得最大值；

理由如下：

由（1）知，AQ＝6，∠Q＝∠BAQ＝30°，

可求AB＝，

过点C作CH⊥EF，垂足为H，交AB于点K，

∵EF∥AB，

∴CK⊥AB，△ABC∽△EFC，

∴，

∴EF＝，

易知：CK是定值，所以，EF随着HK的增大而增大，

当HK取最大值时，EF取最大值，

∴当点P为劣弧AB的中点时，HK最大，此时OP垂直平分AB．