Question

16．若$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{5}$，求x³+x^-3的值[其中x³±y³=（x±y）（x²-xy±y²）]．

Answer 1

分析 先由已知条件变形得到x+$\frac{1}{x}$=5，再利用题中所给的公式得到x³+x^-3=x³+（$\frac{1}{x}$）³=（x+$\frac{1}{x}$）[（x+$\frac{1}{x}$）²-3]，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{5}$，
∴x²+1=5x，
∴x+$\frac{1}{x}$=5，
∴x³+x^-3=x³+（$\frac{1}{x}$）³=（x+$\frac{1}{x}$）（x²-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）
=（x+$\frac{1}{x}$）[（x+$\frac{1}{x}$）²-3]
=5×（5²-3）
=110．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．