Question

2．对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$与x轴交于A_n，B_n两点，以A_n，B_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值是$\frac{2014}{2015}$．

Answer 1

分析 先转换抛物线解析式为两点式：y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=（x-$\frac{1}{n}$）（x-$\frac{1}{n+1}$），则易求该抛物线与x轴的两个交点坐标；然后根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可．

解答 解：y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=（x-$\frac{1}{n}$）（x-$\frac{1}{n+1}$），
则故抛物线与x轴交点坐标为（$\frac{1}{n}$，0）、（$\frac{1}{n+1}$，0）．
由题意知，A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
那么，A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃+A₂₀₁₄B₂₀₁₄，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$）+（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$），
=1-$\frac{1}{2015}$，
=$\frac{2014}{2015}$，
故答案为$\frac{2014}{2015}$．

点评 题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；求两点间的距离时，要利用两点间的坐标差来解答．