题目内容

如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m(m＜0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．

(1)填空：OB＝________，OC＝________；

(2)连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

(3)如图，设垂直于x轴的直线l：x＝n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

答案：
解析：

　　解：(1)OB＝3，OC＝8　　4分

　　(2)连接OD，交OC于点E

　　∵四边形OACD是菱形

　　∴AD⊥OC，OE＝EC＝×8＝4

　　∴BE＝4－3＝1

　　又∵∠BAC＝90°，

　　∴△ACE∽△BAE

　　∴＝

　　∴AE2＝BE·CE＝1×4

　　∴AE＝2　　6分

　　∴点A的坐标为(4，2)　　7分

　　把点A的坐标(4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－

　　∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12　　9分

　　(3)∵直线x＝n与抛物线交于点M

　　∴点M的坐标为(n，－n2＋n－12)

　　由(2)知，点D的坐标为(4，－2)，

　　则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4

　　∴点N的坐标为(n，n－4)

　　∴MN＝(－n2＋n－12)－(n－4)＝－n2＋5n－8　　11分

　　∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝(－n2＋5n－8)×4

　　＝－(n－5)2＋9　　13分

　　∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9　　14分


练习册系列答案
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如图，抛物线y＝x2＋mx＋n过原点O，与x轴交于A，点D(4，2)在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连结CO、AD．

(1)求C点的坐标及抛物线的解析式；

(2)将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△OEF(点C与点E对应)，判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

(3)设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、

B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横

坐标为t．

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

 

如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；                                 
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；                                 

（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

如图，抛物线y＝x2＋mx＋n交x轴于A、B两点，直线y＝kx＋b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P为线段AC上一点（不含端点），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，试证明：当P为AC的中点时，线段PQ的长取得最大值，并求出PQ的最大值；

（3）设D、E为直线AC上的两点（不与A、C重合），且D在E的左侧，DE＝2，过点D作DF⊥x轴交抛物线于点F，过点E作EG⊥x轴交抛物线于点G．问：是否存在这样的点D，使得以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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