Question

如图，抛物线y＝x²＋mx＋n交x轴于A、B两点，直线y＝kx＋b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P为线段AC上一点（不含端点），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，试证明：当P为AC的中点时，线段PQ的长取得最大值，并求出PQ的最大值；

（3）设D、E为直线AC上的两点（不与A、C重合），且D在E的左侧，DE＝2，过点D作DF⊥x轴交抛物线于点F，过点E作EG⊥x轴交抛物线于点G．问：是否存在这样的点D，使得以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，－2）

∴ 其函数关系式为y＝(x－1)－2＝x－x－.

（2）由 x－x－＝0得 x＝－1或3，即A（－1，0）、B（3，0）

由A（－1，0）、M（1，2）可得直线AC的函数关系式为y＝x＋1.

设P（t，t＋1），则Q的坐标为（x，t－t－）

∴ PQ＝(t＋1)－(t－t－)＝－t＋2t＋＝－(t－2)＋

　　　　　 ∴ 当t＝2时，PQ有最大值为，

即P点运动至AC的中点时，PQ长有最大值为.

（3）符合条件的点共有3个，分别为D1(2，3)，D2( 1－2，2－2)，D3（1＋2，2＋2）.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 （第（3）小题得出1解得2分，2解得3分，3解得4分）