Question

将两块全等的含30º角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C=30º，AB=2BC.

（1）固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，AB与A₁C、A₁B₁分别交于点D、E，AC与A₁B₁交于点F．

①（3分）填空：当旋转角等于20º时，∠BCB₁=       度；

②（5分）当旋转角等于多少度时，AB与A₁B₁垂直？请说明理由．

（2）（5分）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，使AB∥CB₁，AB与A₁C交于点D，试说明A₁D=CD.

 

Answer 1

 

（1）① 160；………………………………………………………………… 3分

②解：当AB与A₁B₁垂直时，∠AED=90°，

∴∠3=90°-∠A₁=90°-30°=60°，………………………………… 4分

∴∠2=∠3=60°，……………………………………………………… 5分

由已知易得∠B=60°，

∴∠1=180°-∠2-∠B=60°，………………………………………… 6分

∴∠ACA₁=30°， ……………………………………………………… 7分

     即当旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直. ………………………… 8分

（2）∵AB∥CB₁，∠ACB₁=90°，

∴∠CDB=90°，即CD是△ABC的高， ……………………………… 9分

     设BC=，AC=，则AB=，A₁C=， …………………………… 10分

∵，  …………………………… 11分

      即

      ∴，即CD=A₁C， ……………………………………… 12分

      ∴A₁D=CD. …………………………………………………………… 13分