Question

如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

• A．

  3

  π
• B．

  3

  2

  π
• C．

  2 3

  3

  π
• D．

  3

  3

  π

Answer 1

分析：连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长

AG

，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出

AG

所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出

AG

的长，即可求出点F所经过的路径长．

解答：解：连接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G为AB的中点，即AG=BG=

1

2

AB，
∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，
∴OG=2，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG=

AO2-OG2

=2

3

，
∴AB=2AG=4

3

，
又∵CG=CO+GO=4+2=6，
∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC=

AG2+CG2

=4

3

，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长

AG

，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=

AG

CG

=

3

3

，
∴∠ACG=30°，
∴

AG

所对圆心角的度数为60°，
∵直径AC=4

3

，
∴

AG

的长为

60π×2 3

180

=

2 3

3

π，
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为

2 3

3

π．
故选C．

点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长

AG

，是解本题的关键．