题目内容
（1）如图1，矩形ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边AD和CD上，且AF⊥BE于O，求| AF |
| BE |
（2）在上面的问题中，若
| AF |
| BE |
①若将AF沿直线AB方向平移到PQ，将BE沿直线AD方向平移到RS，然后将PQ与RS同时绕点O旋转（保持PQ与RS垂直），则
| PQ |
| RS |
②设P、R、Q、S依次是矩形的边AB、BC、CD、DA上的点，若=k，则PQ⊥RS．
（Ⅰ）判断命题的真假性：①
（Ⅱ）若其中有假命题，请你在图3中，用画图的方法举反例进行说明；若以上两个命题都是真命题，请选择其中一个给予证明．
分析：（1）证明△ABE∽△DAF，即可得
的值；
（2）（Ⅰ）①是真命题；②是假命题；
（Ⅱ）①的证明：作PF⊥CD于点F，作RE⊥AD于点E，当PQ⊥SR时，可得△RES∽△PFQ，即可知
的值；
②的反例：作SR′=SR，图中
=
=
，但PQ与SR′不垂直．
| AF |
| BE |
（2）（Ⅰ）①是真命题；②是假命题；
（Ⅱ）①的证明：作PF⊥CD于点F，作RE⊥AD于点E，当PQ⊥SR时，可得△RES∽△PFQ，即可知
| PQ |
| RS |
②的反例：作SR′=SR，图中
| PQ |
| SR′ |
| PQ |
| SR |
| 3 |
| 2 |
解答：解：（1）如图1，∵AF⊥BE
∴△ABE∽△DAF
∴
=
=
；
（2）（Ⅰ）①是真命题；②是假命题；
（Ⅱ）①的证明：
如图2，作PF⊥CD于点F，作RE⊥AD于点E，当PQ⊥SR时，
可得△RES∽△PFQ，
∴
=
=
=
②的反例：
如图3，作SR′=SR，图中
=
=
，
但PQ与SR′不垂直．
∴△ABE∽△DAF
∴
| AF |
| BE |
| AD |
| AB |
| 3 |
| 2 |
（2）（Ⅰ）①是真命题；②是假命题；
（Ⅱ）①的证明：
如图2，作PF⊥CD于点F，作RE⊥AD于点E，当PQ⊥SR时，
可得△RES∽△PFQ，
∴
| PQ |
| RS |
| PF |
| RE |
| BC |
| AB |
| 3 |
| 2 |
②的反例：
如图3，作SR′=SR，图中
| PQ |
| SR′ |
| PQ |
| SR |
| 3 |
| 2 |
但PQ与SR′不垂直．
点评：本题考查了相似三角形的判断和性质以及命题的判断及证明．
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