Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BC的中点，连接EF．
（1）求BF的长度；
（2）求证：四边形ABEF是正方形；
（3）设点P是线段BF上的一个动点，点N是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠APN=90°？若存在，请直接写出BP的长度；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的四个角都是直角以及角平分线的定义可得∠ABF=∠EBF=45°，从而判定△ABF是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可；
（2）先求出BE的长度，然后判定四边形ABEF是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
（3）根据矩形的性质可得点N是EF的中点，从而求出NE的长度，过点P作BC的平行线交AB于G，交EF于H，根据∠ABF=45°可得BG=PG=EH，再设BG=x，然后表示出AG、PG、PH、HN，再根据∠APN=90°利用同角的余角相等求出∠PAG=∠NPH，然后证明△APG和△PNH相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出x的值，再利用勾股定理求解即可．

解答：（1）解：在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠EBF=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∵AB=1，
∴BF=

AB2+AF2

=

12+12

=

2

；

（2）证明：∵BC=2，E为BC的中点，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
∴AF=BE，
又∵在矩形ABCD中，AF∥BE，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AB=BE=1，
∴四边形ABEF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）；

（3）存在．理由如下：
∵矩形ABCD的AB=1，BC=2，AF=BE=1，
∴矩形的中心在EF上，且是EF的中点，
∴NE=

1

2

EF=

1

2

，
过点P作BC的平行线交AB于G，交EF于H，
∵∠ABF=∠EBF=45°，
∴BG=PG=EH，
设BG=x，则AG=1-x，PG=x，PH=1-x，NH=

1

2

-x，
∵∠APN=90°，
∴∠APG+∠NPH=180°-90°=90°，
又∵∠APG+∠PAG=90°，
∴∠PAG=∠NPH，
又∵∠AGP=∠PHN=90°，
∴△APG∽△PNH，
∴

AG

PH

=

PG

NH

，
即

1-x

1-x

=

x

1 2 -x

，
解得x=

1

4

，
所以，BP=

BG2+PG2

=

( 1 4 )2+( 1 4 )2

=

2

4

．

点评：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及相似三角形的判定与性质，（3）作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．