Question

当0≤x≤2时，函数y=x²+（m-3）x+m的图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：当0≤x≤2时，函数与x轴有两个不同的交点则有：①根的判别式△＞0；②由于抛物线开口向上，所以当x=0和x=2时，y值应具备：y≥0；
（可结合图象进行判断，当x取0、2时，函数图象均在x轴或x轴上方．）；③抛物线的对称轴在0～2的范围内，不包括0和2；
（若取0或2，那么在0≤x≤2的区间内，函数与x轴不会有两个不同的交点．）根据上述三个条件即可确定m的取值范围．

解答：解：
当0≤x≤2时，函数y=x²+（m-3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点，
∴m应同时满足下列三个方面的条件：
方程x²+（m-3）x+m=0的判别式△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）＞0，
抛物线y=x²+（m-3）x+m的对称轴满足0＜

3-m

2

＜2，
当x=0时，函数值y=m≥0，
当x=2时，函数值y=3m-2≥0，
即

(m-1)(m-9)＞0 0＜ 3-m 2 ＜2 m≥0 3m-2≥0

，解得

2

3

≤m＜1；
∴当

2

3

≤m＜1时，函数图象y=x²+（m-2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点．

点评：本题主要考查二次函数与x的交点，掌握二次函数与x轴有两个交点的条件是解题的关键．