Question

【题目】在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根．

（1）求△ABC的周长．

（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．

Answer 1

【答案】（1）△ABC的周长为7或7；（2）△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．

【解析】

（1）此题分两种情况考虑：一是b和c中有一个和a相等，是3；二是b=c，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．

（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，3，3的三角形的外接圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．

（1）若b、c中有一边等于3，

则方程可化为，

解得m=-；

原方程可化为x2-=0，

解得x1=3，x2=，

所以三角形的周长为3+3+=；

若b=c，则△=m2-4()=0，

解得m=﹣4或2，

当m=﹣4时，方程为x2﹣4x+4=0，得x1=x2=2，

所以三角形的周长为2+2+3=7；

当m=2时，方程为x2+2x+1=0，得x1=x2=﹣1；（不合题意，舍去）

综上可知△ABC的周长为7或7．

（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，

则有AE⊥BC．

∵△ABC的三边均为整数，

∴AB=AC=2，BC=3，

BE=BC=．AE==，

设AO=R，在Rt△BOE中，R2=（）2+（﹣R）2，

∴R=，

∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．