Question

4．如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．
（1）求点D到直线AB的距离；
（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？
（结果保留小数点后一位．参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．

Answer 1

分析 （1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；
（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG-AG，代值计算即可得出答案．

解答 解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，
∵DC∥AB，
∴四边形DCBG为平行四边形．
∴DC=GB，GD=BC=11．
在Rt△DGH中，
DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，
∴点D到直线AB的距离是6.60km；

（2）根据（1）得：
GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，
在Rt△ADH中，
AD=$\sqrt{2}$DH≈1.41×6.60≈9.31．
AH=DH≈6.60，
∵两条路线路程之差为AD+DG-AG，
∴AD+DG-AG=（9.31+11）-（6.60+8.80）≈4.9（km）．
即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，将梯形中的问题转化为三角形问题是解决梯形问题的常用方法，常作的辅助线有平移腰、平移对角线、作高等．