Question

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，D是

AC

的中点，BD交AC于点E，证明：AD•CD=DE•BD．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先根据D是

AC

的中点可得AD=CD，∠DBC=∠ABD，再证明△ABD∽△DAE，可得

DB

AD

=

AD

DE

，利用等量代换可得

DB

AD

=

CD

DE

，进而可得答案．

解答：证明：∵D是

AC

的中点，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD，∠DBC=∠ABD，
∵∠ADB=∠ADB，∠DAC=∠DBC=∠ABD，
∴△ABD∽△EAD，
∴

DB

AD

=

AD

DE

，
∴

DB

AD

=

CD

DE

，
∴AD•CD=DE•BD．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．