Question

【题目】如图，直线和相交于点C，分别交x轴于点A和点B点P为射线BC上的一点。

（1）如图1，点D是直线CB上一动点，连接OD，将沿OD翻折，点C的对应点为，连接，并取的中点F，连接PF，当四边形AOCP的面积等于时，求PF的最大值；

（2）如图2，将直线AC绕点O顺时针方向旋转α度，分别与x轴和直线BC相交于点S和点R，当是等腰三角形时，直接写出α的度数.

Answer 1

【答案】（1）PF的最大值是；（2）的度数：，，，.

【解析】

（1）设P（m，-m+6），连接OP．根据S四边形AOCP=S△AOP+S△OCP=，构建方程求出点P坐标，取OB的中点Q，连接QF，QP，求出FQ，PQ，根据PF≤PQ+QF求解即可．

（2）分四种情形：①如图2-1中，当RS=RB时，作OM⊥AC于M．②如图2-2中，当BS=BR时，③如图2-3中，当SR=SB时，④如图2-4中，当BR=BS时，分别求解即可解决问题．

解：（1）在中，当时，；

当时，﹒

∴，

设，连接OP

∴

∴

∴ ∴

取OB的中点Q，连接FQ，PQ

在中，当时，

∴ ∴

又∵点F是的中点，

∴

∵

所以PF的最大值是

（2）①如图2-1中，当RS=RB时，作OM⊥AC于M．

∵tan∠OAC==，

∴∠OAC=60°，

∵OC=OB=6，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵∠OM′S=∠BRS=90°，

∴OM′∥BR，

∴∠AOM′=∠OBC=45°，

∵∠AOM=30°，

∴α=45°-30°=15°．

②如图2-2中，当BS=BR时，易知∠BSR=22.5°，

∴∠SOM′=90°-22.5°=67.5°，

∴α=∠MOM′=180°-30°-67.5°=82.5°

③如图2-3中，当SR=SB时，α=180°-30°=150°．

④如图2-4中，当BR=BS时，α=150°+（90°-67.5°）=172.5°．

综上所述，满足条件的α的值为15°或82.5°或150°或172.5°．