Question

【题目】如图，正方形的边长为，点在边上，且，过点作直线的垂线交的延长线于点，连接，则的长为________．

Answer 1

【答案】.

【解析】

作FM⊥GC于M，则FM∥AB，由正方形的性质得出∠ABC＝90°，AB＝CB＝6，由ASA证明△ABG≌△CBE，得出BG＝BE，AG＝CE，由AE＝2BE，得出BG＝BE＝2，由勾股定理求出AGCE＝AG＝2，证明△AFE∽△CBE，得出对应边成比例求出AF＝，求出FG＝AGAF＝，由平行线得出，求出FM＝，GM＝，得出BM＝BGGM＝，再由勾股定理求出BF即可．

作FM⊥GC于M，如图所示：

则FM∥AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝CB＝6，

∴∠ABG＝90°，

∴∠G＋∠BAG＝90°，

∵CF⊥AG，

∴∠AFE＝∠CFG＝90°，

∴∠G＋∠BCE＝90°，

∴∠BAG＝∠BCE，

在△ABG和△CBE中，

，

∴△ABG≌△CBE（ASA），

∴BG＝BE，AG＝CE，

∵AE＝2BE，

∴BE＝2，AE＝4，

∴BG＝BE＝2，∴CE＝AG＝，

∵∠AFE＝∠ABC＝90°，∠BAG＝∠BCE，

∴△AFE∽△CBE，

∴，即，

解得：AF＝，

∴FG＝AGAF＝，

∵FM∥AB，

∴，

即，

解得：FM＝，GM＝，

∴BM＝BGGM＝，

∴BF＝；

故答案为：