Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是AC的垂直平分线，且交AB于D，垂足为E，如果BC=1，AC=

3

，则∠A的度数和△CDE的周长分别为（　　）

• A．30°和

  3

  2

• B．45°和

  3 +2

  2

• C．30°和

  3 +3

  2

• D．30°和

  3 +1

  2

Answer 1

分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，即可求得∠A的度数，继而证得△BCD是等边三角形，继而求得答案．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，
∴tanA=

BC

AC

=

3

3

，
∴∠A=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ACD=∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=BC=1，DE=

1

2

CD=

1

2

，CE=CD•cos∠ACD=

3

2

，
∴△CDE的周长为：

3+ 3

2

．
故选C．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．