题目内容
【题目】如图，对称轴为直线x＝
的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)．
(1)求抛物线表达式及顶点坐标；
(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在(2)条件下，是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝
(x﹣
)2﹣
；顶点坐标为(，﹣)；(2) S＝﹣4(x﹣)2+25(1＜x<6)；(3)不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
【解析】
（1）已知抛物线的对称轴，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
(3)如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，-3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．
解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x﹣)2+k，
把A(6，0)，B(0，4)代入可得，
解得
∴抛物线解析式为
，
∴顶点坐标为(，﹣)；
(2)∵点E(x，y)在第四象限，
∴y＜0，
∴﹣y表示点E到OA的距离，
令
解得：
即抛物线与
轴的另一个交点坐标为：
则1＜x＜6；
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S＝2S△OAE＝2×
×OA|y|＝﹣6y＝﹣4(x﹣)2+25，其中1＜x＜6；
(3)当OA⊥EF且OA＝EF时，四边形OEAF是正方形，
此时E点坐标为(3，﹣3)，而坐标为(3，﹣3)的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
【题目】在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图1摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？
小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．下面是小林的探究过程，请补充完整：
(1)画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF＝_____°，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为xcm，E，F两点间的距离为ycm．
(2)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 6.9 | 5.3 | 4.0 | 3.3 | ____ | 4.5 | 6 |
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(4)结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为_____cm．
