题目内容
在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三角板绕点O旋转，两直角边OQ、OR与矩形两邻边分别交于E、F两点．
（1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO=m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形．
【答案】分析：（1）OE与OF的数量关系即AB与AD的边长比；
（2）过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，可得出两线段之间的关系；
（3）按题意作出图形，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可（过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，得出OE与OF只要直角顶点O在对角线AC上滑动，
OE与OF的数量关系则不随之改变）．
解答：
解：（1）OE与OF的数量关系是OE：OF=AB：AC=3：4；（1分）
（2）
．（2分）
如图2，过点O分别作AB、BC的垂线，垂足为M、N．
由题意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
∴△AOM∽△ACB．（3分）
∴
．
∴
．
∴
．（4分）
同理可得
．（5分）
∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
∴∠MOF=∠NOE．
又∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ONE．（6分）
∴
．（7分）
∴
．
（3）如图，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可．（8分）
点评：熟练掌握矩形的性质，能够运用相似三角形的性质，求解一些线段成比例的问题，会求解三角形相似．
（2）过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，可得出两线段之间的关系；
（3）按题意作出图形，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可（过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，得出OE与OF只要直角顶点O在对角线AC上滑动，
OE与OF的数量关系则不随之改变）．
解答：
解：（1）OE与OF的数量关系是OE：OF=AB：AC=3：4；（1分）（2）
．（2分）如图2，过点O分别作AB、BC的垂线，垂足为M、N．
由题意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
∴△AOM∽△ACB．（3分）
∴
．∴
．∴
．（4分）同理可得
．（5分）∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
∴∠MOF=∠NOE．
又∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ONE．（6分）
∴
．（7分）∴
．（3）如图，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可．（8分）
点评：熟练掌握矩形的性质，能够运用相似三角形的性质，求解一些线段成比例的问题，会求解三角形相似．
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