题目内容
已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
（1）若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系______．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．）
解：
（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴
BC•AM=AB•PD+AC•PF
即BC•h=AB•h1+AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC•AM=AB•PD+AC•PF+BC•PE
即BC•h=AB•h1+AC•h2+BC•h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2-h3．
当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即BC•AM=AB•PD+AC•PE-BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．
分析：把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
点评：此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．
（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴
BC•AM=AB•PD+AC•PF即
BC•h=AB•h1+AC•h2又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴
BC•AM=AB•PD+AC•PF+BC•PE即
BC•h=AB•h1+AC•h2+BC•h3又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2-h3．
当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即
BC•AM=AB•PD+AC•PE-BC•PF，∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．
分析：把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
点评：此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．
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