Question

【题目】等边边长为，为边上一点，，且、分别于边、交于点、．

如图，当点为的三等分点，且时，判断的形状；

如图，若点在边上运动，且保持，设，四边形面积的，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

如图，若点在边上运动，且绕点旋转，当时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）根据三等分点的定义，求得BP与PC的长，进而根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BE的长，即可作出判断；
（2）分别表示出△ABC、△BPE、△PCF的面积，根据四边形AEPF的面积=△ABC的面积-△BPE的面积-△PCF的面积，即可求解；
（3）首先证明△BPE∽△CFP，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得BP的长，进而即可求得PE的长．

∵点为的三等分点，

∴，，

∵，

∴在直角中，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴是等边三角形；

的面积是：；

，则．，，．

则的面积是：，

的面积是：．

∴四边形面积的；

即；

∵在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

设，则．

∴，

解得：或．

当时，在三角形中，，，，

则；

当时，在三角形中，，，，

则是等边三角形，∴．

故或．