Question

观察下列式子：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…
（1）请你根据上述规律写出第n个式子
（2）利用规律解方程：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

+

1

(x+4)(x+5)

=

2x-1

x(x+5)

．

Answer 1

分析：（1）根据题意即可得规律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）由规律可得方程：

1

x

-

1

x+5

=

2x-1

x(x+5)

，解此分式方程即可求得答案．

解答：解：（1）根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）∵

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

+

1

(x+4)(x+5)

=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+4

+

1

x+4

-

1

x+5

=

1

x

-

1

x+5

，
∴

1

x

-

1

x+5

=

2x-1

x(x+5)

，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5-x=2x-1，
解得：x=3．
检验：把x=3代入x（x+5）=24≠0．
∴原方程的解为：x=3．

点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度适中，属于规律性题目，注意得到规律：

1

x

-

1

x+5

=

2x-1

x(x+5)

是关键．