题目内容

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，
而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为an，计算a2-a1，a3-a2，a4-a3，…由此推算，a100-a99=
100
100
，a100=
5050
5050
．
 
分析：本题先根据已知条件，得出自然数是1，2，3，4，5，6，7，…，三角数是1，3，6，10，15，21，28，…，再从中找出规律为：第几个三角数就是它的位置之前的自然数和本身之和，即可找出结果．
解答：解：根据题意得：
自然数是1，2，3，4，5，6，7，…，
三角形数1，3，6，10，15，21，28，…，
n(n+1)
2
，
第几个三角数就是它的位置之前的自然数和本身之和，
正方形数1，4，9，16，25，36，49，…，n2，
则a100-a99=
100×101
2
-
99×100
2
=5050-4950=100；a100=5050．
故答案为：100；5050
点评：此题考查了规律型：数字的变化类，以及图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
练习册系列答案
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18、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”，而把1、4、16┅这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
请再写出一个符合这一规律的等式：
25=10+15（答案不唯一）
．
（2013•澄海区模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．
（1）第5个三角形数是
15
15
，第n个“三角形数”是
n(n+1)
2
n(n+1)
2
，第5个“正方形数”是
25
25
，第n个正方形数是
n2
n2
；
（2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④
25=10+15
25=10+15
，⑤
36=15+21
36=15+21
，…．
请写出上面第4个和第5个等式；
（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…；b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，…；y1=2a1+b1，y2=2a2+b2，y3=2a3+b3，y4=2a4+b4，…，那么，按此规定，y6=
78
78
，yn=
2n2+n
2n2+n
（用含n的式子表示，n为正整数）．
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角数”；把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和，“正方形数”36可以写成两个相邻的“三角形数”
15
15
与
21
21
之和；“正方形数”n2可以写成两个相邻的“三角形数”
n(n-1)
2
n(n-1)
2
与
n(n+1)
2
n(n+1)
2
之和，其中n为大于1的正整数．
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

①1=1
②1+2=
(1+2)×2
2
=3
③1+2+3=
(1+3)×3
2
=6
④
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
；
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
；
（3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．

①1=12
②1+3=22
③3+6=32
④6+10=42
⑤
10+15=52
10+15=52
；
（4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2
；
（5）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？

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