Question

（2013•澄海区模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．
（1）第5个三角形数是

15

，第n个“三角形数”是

n(n+1)

2

，第5个“正方形数”是

25

，第n个正方形数是

n²

；
（2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④

25=10+15

，⑤

36=15+21

，…．
请写出上面第4个和第5个等式；
（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）观察发现，第5个三角形数等于第4个三角形数加上5，即为15，第n个“三角形数”等于第（n-1）个“三角形数”加上n，即为1+2+3+…+n，计算即可；第5个“正方形数”是5²，第n个正方形数是n²；
（2）根据①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4个等式为第5个三角形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数，第5个等式为第6个三角形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数；
（3）第n个等式为第（n+1）个“三角形数”等于第n个“三角形数”加上第（n+1）个“三角形数”．

解答：解：（1）15，

n(n+1)

2

，25，n²；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）(n+1)2=

n(n+1)

2

+

(n+1)(n+2)

2

，
∵右边=

n2+n

2

+

n2+3n+2

2

=

2n2+4n+2

2

=n²+2n+1=（n+1）²=左边，
∴原等式成立．
故答案为15，

n(n+1)

2

，25，n²；25=10+15，36=15+21．

点评：本题考查了整式的混合运算及规律型：数字的变化类，首先要观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律，再根据规律解题．