题目内容
【题目】如图，矩形OABC中,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=4,OC=2.点P（m,0）是射线OA上的动点，E为PC中点，作□OEAF，EF交OA于G，
（1）写出点E,F的坐标（用含m的代数式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).
（2）当线段EF取最小值时，m的值为______;此时□OEAF的周长为______.
（3）①当□OEAF是矩形时，求m的值.
②将△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF与△AEF重叠部分的面积为1时，m的值为 .
【答案】（1）（
，1），（4-，-1）；（2）4；4
；（3）①m=4±2
，②2或6.
【解析】
（1）根据中点坐标公式和对称性，分别求出点E、F的坐标.
（2）由题意当EF⊥OA时，线段EF有最小值.由勾股定理可得m的值及四边形OEAF的周长.
（3）①分情况讨论：当点P在线段OA上时，如图1，利用勾股定理求出HG，就可得到OH的长，然后求出OP的长；当点P在OA延长线上时， 先求出OH，然后求出OP的长即可；②分两种情况：当点P在线段OA上时，先证△AEF为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值；当点P在OA延长线上时，先证△AFE为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值.
（1）∵C(0,2),P(m,0),由中点坐标公式，得点E的坐标为(,1)，由F和E关于点G对称，可得F的坐标为(4-,-1).
故答案为：(,1)，(4-,-1).
（2）当EF⊥OA时，此时EG最小,则EF最小.此时点P与A重合，m=4,易知，四边形OEAF是菱形， 由勾股定理得OE=
，四边形OEAF的周长为4，
故答案为：4，4
（3）作EH⊥x轴于点H,
当点P在线段OA上时，如图1，
Rt△EHG中，EH=1,EG=OG=2,则HG= 
∴OH=2-
∴m=OP=4-2
当点P在OA延长线上时,如图2，
∴OH=2+
∴m=OP=4+2 
综上所述，m=4 ±2
②分两种情况：
Ⅰ：当P在线段OA上时，如图，
∵OEAF是平行四边形，
∴AG=
OA=2,
又E (
)
∴
∵
折叠后与
重合
∴
又OF∥AE,
∴
∴
∴EH=FH
又G为EF中点
∴HG⊥EF
∵
∴
∴
∴HE=AH
∴HE=AH=HF
∴△AEF为直角三角形，∠AFE=90°
∴∠OEG=90°
∴
+
=
∴
+
+
+=
解得
=2
Ⅱ、当P在OA的延长线上时，如图
同理可证，EH=FH=AH,
∴∠AEF=90°
∴△AEG为直角三角形,
∴
+
=
∴++
+=
解得=6
综上所述，m=2或6
故答案为：m=2或6
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