Question

18．如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0），分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x²于点C，点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别记作y_E，y_F
（1）特例探究
当m=1，n=2时，y_E=2，y_F=2
当m=3，n=5时，y_E=15，y_F=15
（2）归纳证明
对任意m，n（n＞m＞0），猜想y_E与y_F的大小关系，并证明你的猜想．
（3）拓展应用
若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²（a＞0），其它条件不变，请直接写出y_E与y_F的大小关系．

Answer 1

分析 （1）已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．
（2）已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．
（3）已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．

解答 解：（1）特例探究：
当m=1，n=2时，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；
则：直线OC：y=x；直线OD：y=2x；
∴F（1，2）、E（2，2）；
即：y_E=y_F=2．
同理：当m=3，n=5时，y_E=y_F=15．
故答案为2，2；15，15；
（2）归纳证明：
猜想：y_E=y_F；
证明：点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．
由抛物线的解析式知：C（m，m²）、D（n，n²）；
设直线OC的解析式：y=kx，代入点C的坐标：
km=m²，k=m
即：直线OC：y=mx；
同理：直线OD：y=nx．
∴E（n，mn）、F（m，mn）
即y_E=y_F．
（3）拓展应用：y_E=y_F．
证明：点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．
由抛物线的解析式知：C（m，am²）、D（n，an²）；
设直线OC的解析式：y=kx，代入点C的坐标：
km=am²，k=am
即：直线OC：y=amx；
同理：直线OD：y=anx．
∴E（n，amn）、F（m，amn）
即y_E=y_F．

点评 本题主要考查的是二次函数图象是点的坐标特征，表示出E、F点的坐标是解题的关键．